อัตราส่วนเเละร้อยละ

อัตราส่วน เป็นความสัมพันธ์ที่แสดงการเปรียบเทียบปริมาณสองปริมาณซึ่งอาจมีหน่วยเดียวกันหรือต่างหน่วยกันก็ได้

ร้อยละ มีความหมายต่อร้อยหรือส่วนร้อยมาจากคำในภาษาอังกฤษว่า Percent หรือใช้สัญลักษณ์เป็น % แทนก็ได้ คำว่า ร้อยละหรือเปอร์เซ็นต์ (%) เป็นอัตราส่วนแสดงการเปรียบเทียบปริมาณใดปริมาณหนึ่งกับ 100 เช่น 50% (ร้อยละ 50)

อัตราส่วนที่เท่ากัน

หลักการหาอัตราส่วนที่เท่ากัน

1. หลักการคูณ อัตราส่วนใดเมื่อคูณแต่ละจำนวนด้วยจำนวนเดียวกัน โดยที่จำนวนนั้นไม่เท่ากับศูนย์ อัตราส่วนใหม่ที่ได้จะเท่ากับอัตราส่วนเดิม

2. หลักการหาร อัตราส่วนใดเมื่อหารแต่ละจำนวนด้วยจำนวนเดียวกัน โดยที่จำนวนนั้นไม่เท่ากับศูนย์ อัตราส่วนใหม่ที่ได้จะเท่ากับอัตราส่วนเดิม จากหลักการหาอัตราส่วนที่เท่ากันสามารถเขียนเป็นสัญลักษณ์ได้ดังนี้ อัตราส่วน a : b และ c เป็นจำนวนใดๆ ที่ไม่เท่ากับศูนย์ จะได้ว่า หลักการคูณ a/b = (a × c)/(b × c) หลักการหาร a/b = (a ÷c)/(b ÷c)

การตรวจสอบการเท่ากันของอัตราส่วน

การตรวจสอบการเท่ากันของอัตราส่วน สามารถใช้หลักการตรวจสอบได้ดังนี้ 1. การตรวจสอบโดยใช้การคูณไขว้

ถ้าต้องการตรวจสอบอัตราส่วน 3/10 กับ 6/20 ว่าเท่ากันหรือไม่ สามารถนำอัตราส่วนทั้งสองมาคูณไขว้กันได้ดังนี้

พิจารณาการคูณของจำนวนแต่ละคู่ตามลูกศร ซึ่งเรียกว่า ผลคูณไขว้ (Cross product) ถ้าผลคูณไขว้เท่ากันแสดงว่าอัตราส่วนทั้งคู่เท่ากัน แต่ถ้าผลคูณไขว้ไม่เท่ากันแสดงว่าอัตราส่วนทั้งคู่ไม่เท่ากัน เนื่องจาก 3 × 20 = 60 และ 6 × 10 = 60 จะได้ 3 × 20 = 6 × 10 = 60 ดังนั้น อัตราส่วน 3/10 กับ 6/20 เป็นอัตราส่วนที่เท่ากัน

โดยทั่วไปกล่าวได้ว่า การตรวจสอบการเท่ากันของอัตราส่วน a/b และ c/d โดยใช้การคูณไขว้แล้วพิจารณาผลคูณไขว้ของอัตราส่วน a/b และ c/d ตามหลักการดังนี้

1. ถ้า a × b = b × c แล้ว a/b = c/d 2. ถ้า a × d ≠ b × c แล้ว a/b ≠ c/d

จากหลักการข้างต้น ทำให้ได้ข้อสรุปต่อไปอีกว่า ถ้า a/b = c/d แล้ว a × b = b × c

2. การตรวจสอบโดยใช้การทอนเป็นอัตราส่วนอย่างต่ำ

ถ้าต้องการตรวจสอบอัตราส่วน 6/9 กับ 14/21 ว่าเท่ากันหรือไม่ ให้นำอัตราส่วนทั้งสองมาทอนเป็นอัตราส่วนอย่างต่ำ ดังนี้ 6/9 = (6 ÷3)/(9 ÷3) = 2/3 14/21 = (14 ÷7)/(21 ÷7) = 2/3

พิจารณาจากอัตราส่วนอย่างต่ำของทั้งสองอัตราส่วน จะพบว่า 6/9 กับ 14/21 มีอัตราส่วนอย่างต่ำเท่ากัน แสดงว่า อัตราส่วน 6/9 กับ 14/21 เป็นอัตราส่วนเท่ากัน แต่ถ้าพิจารณาแล้วพบว่า อัตราส่วนอย่างต่ำสองอัตราส่วนใด ๆ ไม่เท่ากัน แสดงว่า อัตราส่วนที่นำมาเปรียบเทียบไม่เท่ากัน

อัตราส่วนของจำนวนหลาย ๆ จำนวน

ให้พิจารณาอัตราส่วนต่อไปนี้ จำนวนนักเรียนชายต่อจำนวนนักเรียนหญิงเป็น 13 : 12 จำนวนนักเรียนหญิงต่อจำนวนครูเป็น 12 : 2 จำนวนครูต่อจำนวนนักการภารโรงเป็น 2 : 3

นอกจากการเขียนอัตราส่วนแสดงการเปรียบเทียบจำนวนของบุคคลข้างต้นนั้นทีละคู่ ยังสามารถเขียนอัตราส่วนแสดงการเปรียบเทียบของจำนวนของบุคคลทั้งหมดได้ดังนี้

อัตราส่วนของจำนวนนักเรียนชายต่อจำนวนนักเรียนหญิงต่อจำนวนครูต่อจำนวนนักการภารโรง เป็น 13 : 12 : 2 : 3 อัตราส่วนเช่นนี้เรียกว่า "อัตราส่วนของจำนวนหลายๆจำนวน"

สัดส่วน

จากอัตราส่วนที่เท่ากัน เช่น 3 : 4 = 9 : 12 5/9 = 20/36

ประโยคข้างต้นแสดงการเท่ากันของอัตราส่วนสองอัตราส่วน

ในทางคณิตศาสตร์ ประโยคที่แสดงการเท่ากันของอัตราส่วนสองอัตราส่วนเรียกว่า สัดส่วน สัดส่วน a/b = c/d อ่านว่า a ต่อ b เท่ากับ c ต่อ d

ร้อยละ

ในชีวิตประจำวันของนักเรียนมักจะเคยได้ยินหรือพบคำว่า "ร้อยละ" หรือ "เปอร์เซ็นต์" อยู่เสมอ ๆ เช่น ธนาคารแห่งหนึ่งให้ดอกเบี้ยร้อยละ 8.5 ต่อปีและสินค้าลดราคาจากราคาปกติ 50% เป็นต้น

ร้อยละ มีความหมายต่อร้อยหรือส่วนร้อยมาจากคำในภาษาอังกฤษว่า Percent หรือใช้สัญลักษณ์เป็น % แทนก็ได้ คำว่า ร้อยละหรือเปอร์เซ็นต์ (%) เป็นอัตราส่วนแสดงการเปรียบเทียบปริมาณใดปริมาณหนึ่งกับ 100 เช่น

ร้อยละ 75 หรือ 75% แทนด้วย 75 : 100 หรือ 75/100

การเขียนอัตราส่วนให้อยู่ในรูปร้อยละ

การเขียนอัตราส่วนใดให้อยู่ในรูปร้อยละ จะต้องเขียนอัตราส่วนนั้นให้อยู่ในรูปที่จำนวนหลังของอัตราส่วนเป็น 100 แล้วจะได้จำนวนแรกของอัตราส่วนเป็นค่าของร้อยละที่ต้องการ เช่น

7/10 = (7 ×10)/(10 ×10) = 70/100 = 70%

การเขียนร้อยละให้อยู่ในรูปอัตราส่วน

ในทางกลับกัน สามารถเขียนร้อยละให้อยู่ในรูปอัตราส่วนได้ โดยเขียนอัตราส่วนที่มีจำนวนแรกเป็นค่าของร้อยละ และจำนวนหลังเป็น 100 ร้อยละ a หรือ a% เขียนในรูปอัตราส่วนได้ว่า a : 100 หรือ a/100 เช่น

ร้อยละ 45 หรือ 45% เขียนในรูปอัตราส่วนได้ว่า 45 : 100 หรือ 45/100

การคำนวณเกี่ยวกับร้อยละ

การคำนวณเกี่ยวกับร้อยละ ส่วนใหญ่จะพบใน 3 ลักษณะคือ

ตัวอย่างที่ 1 25% ของ 60 เท่ากับเท่าไร หมายความว่าถ้ามี 25 ส่วน ใน 100 ส่วน แล้วจะมีกี่ส่วนใน 60 ส่วน วิธีคิด ให้มี a ส่วนใน 60 ส่วน เขียนสัดส่วนได้ดังนี้ a/60 = 25/100 จะได้ a x 100 = 60 x 25 a = (60x25)/100 ดังนั้น a = 15 นั่นคือ 25% ของ 60 คือ 15

ตัวอย่างที่ 2 9 เป็นกี่เปอร์เซ็นต์ของ 45 หมายความว่า ถ้ามี 9 ส่วนใน 45 ส่วน แล้วจะมีกี่ส่วนใน 100 ส่วน วิธีคิด ให้ 9 เป็น X% ของ 45 x% หมายถึง X/100 เขียนเป็นสัดส่วนได้ดังนี้ 9/45 = x/100 จะได้ 9x100 = 45 x X x = (9x100)/45 ดังนั้น x = 20 นั่นคือ 9 เป็น 20% ของ 45

ตัวอย่างที่ 3 8 เป็น 25% ของจำนวนใด หมายความว่า ถ้ามี 25 ส่วนใน 100 ส่วน แล้วจะมี 8 ส่วนในกี่ส่วน วิธีคิด ให้ 8 เป็น 25% ของ m เขียนเป็นสัดส่วนได้ดังนี้ 8/m = 25/100 จะได้ 8 x 100 = m x 25 m = (8x100)/25 ดังนั้น m = 32 นั่นคือ 8 เป็น 25% ของ 32